【数学的準備】和の記号Σ - 文系だって統計がしたい

統計学では多数のデータを扱います。

そのため、多くの数を足し合わせたりするような数式が出現し、煩雑になることがあります。

そこで書く手間を減らしたり計算を楽にするために、和の記号 $\sum$ というものを定義します。見た目はイカツイですが、ただの略記だと思うとよいです。

定義　和の記号 $\sum$

$i$ 番目のデータを $x_i$ と表すとき、 $1$ 番目から $n$ 番目まで $n$ 個のデータを足した和を
$\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i$ と表す。すなわち $\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i:=x_1+x_2+\cdots+x_n$

つまりこの $\displaystyle\sum_{i=1}^n$ は、足し合わせたい対象の左側に置くことでその対象を $1$ 番目から $n$ 番目まで順番に足すように命令する、という記号です。この定義により、次のことがわかります。

定理　 $\sum$ の性質

$(1)$ 定数 $c$ に対して $\displaystyle\sum_{i=1}^nc=nc$

$(2)$ 定数 $c$ に対して $\displaystyle\sum_{i=1}^ncx_i=c\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i$

$(3)$ $\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i+y_i)=\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i+\displaystyle\sum_{i=1}^ny_i$

証明

$(1)$ $c$ は $i$ を含まない式なので、これは $i$ の値によらず常に $c$ である。よって $1$ 番目から $n$ 番目までずっと $c$ ということなので

$\displaystyle\sum_{i=1}^nc=c+c+\cdots+c$ ( $n$ 個の和) $=nc$

$(2)$ 和の記号を書き下して

$\displaystyle\sum_{i=1}^ncx_i=cx_1+cx_2+\cdots+cx_n$ $=c(x_1+x_2+\cdots+x_n)=c\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i$

$(3)$ 和の記号を書き下して

$\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i+y_i)=(x_1+y_1)+(x_2+y_2)+\cdots+(x_n+y_n)$

これは有限個の和なので、足し合わせる順番を変えても総和は変わらないから、まず先に $x$ を、その後に $y$ を足し合わせて

$=(x_1+x_2+\cdots+x_n)+(y_1+y_2+\cdots+y_n)$ $=\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i+\displaystyle\sum_{i=1}^ny_i$

$\Box$

ただし、

$\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_i}^2\neq{\displaystyle\left(\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i\right)}^2$

であることに注意しましょう。たとえば

$\displaystyle\sum_{i=1}^2{x_i}^2={x_1}^2+{x_2}^2$

ですが、

${\displaystyle\left(\displaystyle\sum_{i=1}^2x_i\right)}^2={(x_1+x_2)}^2$ $={x_1}^2+2x_1x_2+{x_2}^2$

となり、 $x_1x_2=0$ でない限りは等号が成立しません。

またこの定理により、 $\sum$ 計算の線形性という重要な性質が成り立つことがわかります。

系　 $\sum$ の線形性

定数 $a,b$ に対し

$\displaystyle\sum_{i=1}^n(ax_i+by_i)=a\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i+b\displaystyle\sum_{i=1}^ny_i$

証明

$\sum$ の性質 $(2)(3)$ をまとめた表記であるので直ちに従う。

$\Box$

この線形性により直感的で簡単に計算ができるようになります。

今後 $\sum$ を頻繁に使うので上の性質は覚えておいてください。